페르마의 마지막 정리

3. 수학적 배경

3. 1. 피타고라스 수

3. 2. 디오판토스 방정식

4. 타원 곡선과 모듈러성 정리

1984년 게르하르트 프라이는 모듈러성 정리가 증명되면 페르마의 마지막 정리 역시 증명 가능하다는 것을 보였다.^[215] 프라이는 페르마의 방정식에 해 $(a,\; b,\; c)$가 존재할 때, $p>2$ 인 지수 $p$를 사용하여 이 해를 타원 곡선 방정식으로 변환할 수 있음을 제시했다.^[216]

이 타원 방정식은 모듈러 곡선으로 변환할 수 없는 비정상적인 형태를 띤다.^[217] 다니야마 유타카와 시무라 고로는 모든 타원곡선은 적당한 형태의 모듈러 곡선으로 변환 가능하며, 그 역도 성립한다는 다니야마-시무라 추측을 발표했다.^[218] 따라서 다니야마-시무라 추측이 참이라면, 페르마의 방정식을 변환한 타원 방정식도 모듈러 곡선으로 변환되어야 한다. 그러나 프라이가 제시한 타원 방정식은 모듈러 곡선으로 변환 불가능하므로, 이는 페르마의 방정식에 정수 해가 없음을 의미하며, 결국 페르마의 마지막 정리가 참이라는 결론을 내릴 수 있다.^[217]

이 증명 방법은 두 단계의 세부 증명을 필요로 한다. 먼저, 프라이가 보인 것처럼 페르마의 방정식이 타원 방정식으로 변환 가능한지 증명해야 한다. 장피에르 세르는 프라이가 놓친 부분을 “엡실론 추측”(epsilon conjecture|엡실론 추측^영어)으로 정리했고, 1986년 케네스 앨런 리벳이 이를 증명했다.^[219] 다음으로, 모든 타원 방정식은 대응하는 특정 모듈러 곡선을 갖지만, 페르마 방정식은 그렇지 않다는 것을 증명해야 한다. 앤드루 와일스는 1995년에 이 부분을 증명하여 페르마의 마지막 정리를 증명했다.

4. 1. 프라이의 아이디어

4. 2. 타니야마-시무라 추측 (모듈러성 정리)

4. 3. 엡실론 추측 (리벳의 정리)

5. 와일스의 증명

1984년 게르하르트 프라이는 모듈러성 정리를 증명하면 페르마의 마지막 정리 역시 증명 가능하다는 것을 설명하였다.^[215] 프라이는 페르마의 방정식의 해 $(a,\; b,\; c)$ ($p>2$ 인 지수 $p$를 사용)를 타원 곡선의 형태로 변환할 수 있다는 것을 보였다.^[216]

:$y=x(x-a^p)(x+b^p)$

이 타원 방정식은 모듈러 곡선으로 변환할 수 없는 비정상적인 모습이었다.^[217] 1950년대 일본의 다니야마 유타카와 시무라 고로는 모든 타원곡선은 적당한 형태의 모듈러 곡선으로 변환되며 그 역 역시 가능하다는 다니야마-시무라 추측을 발표하였다.^[218] 따라서, 다니야마-시무라 추론이 참이라면, 페르마의 방정식을 변환한 타원 방정식 역시 모듈러 곡선으로 변환되어야 하는데, 그것이 불가능하다는 것은 페르마의 방정식에 정수해가 존재하지 않는다는 의미이므로 페르마의 정리가 참이라는 결론을 얻게 된다.^[217]

장피에르 세르는 프라이가 놓친 부분을 “엡실론 추측”(epsilon conjecture^영어)이라는 이름으로 정리하였고, 1986년 케네스 앨런 리벳이 세르의 엡실론 추측을 증명하였다.^[219] 1995년 앤드루 와일스는 리처드 로런스 테일러의 도움을 받아 모듈러성 정리가 참이라는 것을 증명하고, 이를 통해 페르마의 마지막 정리를 증명하였다.

5. 1. 증명의 개요

5. 2. 증명의 과정

6. 증명 이후

1984년, 게르하르트 프라이는 페르마의 마지막 정리와 모듈러성 정리 사이의 연관성을 발견했다.^{[114][115][116]} 프라이는 페르마의 마지막 정리를 반증하는 네 수의 집합 (''a'', ''b'', ''c'', ''n'')을 사용하여 모듈러성 정리도 반증할 수 있음을 보였다. 대우법에 의해, 페르마의 마지막 정리의 반증은 모듈러성 정리를 반박하게 된다.

이러한 전략에 따라 페르마의 마지막 정리 증명에는 두 가지 단계가 필요했다. 첫째, 모듈러성 정리를 증명하거나, 적어도 프레이 곡선을 포함하는 준안정 타원 곡선에 대해 증명해야 했다. 이는 당대 수학자들에게 증명이 불가능하다고 널리 여겨졌다.^[113] 둘째, 프라이의 직관이 맞다는 것을 보여야 했다. 프라이는 이것이 그럴듯하다는 것을 보였지만 완전한 증명을 제시하지는 못했다. 빠진 부분은 장-피에르 세르가 확인했으며, 켄 리베가 1986년에 리베의 정리를 증명하였다.^[117]

프라이, 세르, 리베의 연구에 따라, 모듈러성 정리 증명은 페르마의 마지막 정리가 참임을 자동적으로 증명하게 되었다.

6. 1. 수학적 영향

6. 2. 대중적 관심

• 1989년 5월에 방영된 《스타 트렉: 넥스트 제네레이션》의 12번째 에피소드 〈더 로얄〉에서는 드라마의 배경이 되는 2360년대에도 여전히 페르마의 마지막 정리가 해결되지 않은 것으로 묘사된다.^[240]
• 미국 PBS의 장수 과학 다큐멘터리 노바는 앤드루 와일스의 증명을 소개한 적이 있다.
• 아서 포지의 1954년 단편 소설 "악마와 사이먼 플래그"에는 24시간 안에 페르마의 마지막 정리 증명을 만들 수 없다는 것을 악마와 거래하는 수학자가 등장한다.^[158]
• 《심슨 가족》 에피소드 "에버그린 테라스의 마법사"에서 호머 심슨은 칠판에 3987¹² + 4365¹² = 4472¹²라는 방정식을 적는데, 이는 페르마의 마지막 정리에 대한 반례인 것처럼 보인다. 이 방정식은 틀렸지만, 10개의 유효숫자를 가진 계산기에 입력하면 맞는 것처럼 보인다.^[159]
• 《스타 트렉: 차세대》 에피소드 "로열"에서 피카르 함장은 24세기에도 이 정리가 여전히 증명되지 않았다고 말한다. 이 증명은 해당 에피소드가 처음 방영된 지 5년 후에 발표되었다.^[160]

7. 포상

프랑스 과학 아카데미는 1816년과 1850년에 페르마의 마지막 정리의 일반적인 증명에 대해 포상금을 내걸었다.^[232] 1857년 프랑스 과학 아카데미는 쿠머의 아이디얼 이론에 대해 금메달과 함께 3000FRF을 수여하였다.^[233] 브뤼셀 과학 아카데미에서도 1883년 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게 포상금을 주겠다고 발표하였다.^[234]

1908년 독일의 기업가이자 아마추어 수학자였던 파울 볼프스켈은 100000DEM를 괴팅겐 과학 아카데미에 기탁하여, 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게 수여하도록 하였다.^[235] 1908년 6월 27일, 괴팅겐 과학 아카데미는 증명의 검증과 상금 수여에 대한 9가지 기준을 발표하였다. 주요 기준은 학술지에 발표된 논문만을 심사 대상으로 한다는 것과 상금 지급 대상은 2007년 9월 13일까지로 한다는 것 등이었다.^[236] 1997년 6월 27일 앤드루 와일스는 볼프스켈상을 수상하고, 50000USD를 받았다.^[237]

볼프스켈상 심사 위원회에는 와일스 이전에 이미 수천 건의 잘못된 증명이 접수되어 있었는데, 이렇게 모인 증명의 양은 높이가 약 3미터에 달했다.^[238] 볼프스켈상이 시작된 1908년에만 621건이 접수되었고, 1970년대에도 매달 3~4건의 증명이 접수되었다.^[239] 수학사 연구자인 하워드 이브스는 "페르마의 마지막 정리는 가장 많은 잘못된 증명들이 발표된 정리이기도 하다"고 언급하였다.^[234]

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_[232] 문서 Aczel, p. 69; Singh, p. 105.
_[233] 문서 Aczel, p. 69.
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_[235] 문서 Singh, pp. 120–125, 131–133, 295–296; Aczel, p. 70.
_[236] 문서 Singh, pp. 120–125.
_[237] 문서 Singh, p. 284
_[238] 문서 Singh, p. 295.
_[239] 문서 Singh, pp. 295–296.
_[240] 웹사이트 The Royale (episode) http://memory-alpha.[...]